Einleitung
Viele Phänomene in der Wissenschaft können durch einen einzelnen Wert (oder Skalar) nicht ausreichend beschrieben werden. Sobald Richtungsinformationen eine Rolle spiele werden Vektoren oder Tensoren verwendet. Ein Beispiel hierfür ist die Simulation von Luft in einem geschlossenen Raum. Während die Temperatur an jeder Stelle des Raumes mit einzelnen Werten ausreichend beschrieben werden können, werden Vektoren für die Beschreibung der Luftströmung benötigt. Dieses Beispiel zeigt auch den engen Zusammenhang zwischen Vektorfeld- und Strömungsvisualisierung. Vektorfelder sind häufig die Basis für Anwendungen in der Strömungsvisualisierung.
In komplexeren Fällen, in denen nicht nur eine einzelne Richtung sondern eine Richtungsverteilung gegeben ist, ist auch ein Vektor nicht ausreichend. In diesen Fällen werden Tensoren verwendet. Tensoren sind die Generalisierung von Skalaren und Vektoren. Ein Skalar ist ein Tensor nullter Ordnung und ein Vektor ein Tensor erster Ordnung.
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Vektorfeld- und Strömungsvisualisierung
Eine typische Quelle für Vektorfelder sind Anwendungen aus dem Gebiet der Numerischen Strömungsmechanik. Dort beschreiben Vektoren die Strömungsrichtung eines Fluids. Eine Standardmethode um diese zu visualisieren ist der Einsatz von Pfeil-Symbolen, die die lokale Strömungsrichtung darstellen. Eine andere gebräuchliche Methode ist die Visualisierung von Tangentialkurven, z.B. Pfadlinien für zeitabhängige Vektorfelder.
Beide Ansätze haben Nachteile. Im Falle von Pfeil-Symbolen werden nur unmittelbare, lokale Größen dargestellt. Pfadlinien sind dagegen anfällig für visuelle Überladung. Für zeitabhängige Vektorfelder verbreitete sich daher ein neuer Ansatz: die Visualisierung von Lagrangschen kohärenten Strukturen auf Basis des finite-time Lyapunox Exponenten (FTLE). Der FTLE ist ein Maß für die Separation von Partikeln nach einer gewissen Zeit. Niedrige FTLE Werte stehen für geringe Separation und damit für kohärente Gebiete in der Strömung. Separation wird durch hohe FTLE Werte angezeigt und treten zwischen verschiedenen kohärenten Gebieten in der Strömung auf. Daher kann das FTLE Feld die Strömung in verschiedene Gebiete mit kohärentem Verhalten unterteilen.
Die Berechnung des FTLE Feldes ist rechenaufwändig, da Integralkurven für jedes Element des resultierenden Feldes berechnet werden müssen. Daher wurde von uns ein hierarchisches Schema entwickelt, das diese Berechnungen beschleunigt. Mit unserer Methode wird die Berechnungskomplexität von einer linearen zu einer logarithmischen reduziert. Eine Zeitserie von 3D FTLE Feldern kann nun in ein paar Minuten anstatt in mehreren Stunden berechnet werden.
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Tensorfeldvisualisierung
Tensoren zweiter Ordnung werden verwendet um die Richtungsverteilung bestimmter Größen zu beschreiben. Sie werden benutzt um z.B. Diffusion oder mechanische Spannung zu beschreiben. Solche Daten werden z.B. bei der Diffusionstensor Magnetresonanz Tomographie erzeugt.
Ein Ansatz um diese Tensoren zu Visualisieren besteht in der Verwendung von speziellen Symbolen. Jedoch können so nur lokale Informationen direkt abgelesen werden, die Beziehung zwischen benachbarten Positionen sind nur indirekt erkennbar. Ein weiterer gebräuchlicher Ansatz ist die Darstellung von Linien die dem größten Eigenvektor der Tensoren folgen. In diesem Fall werden nicht nur lokale Eigenschaften visualisiert. Dieser Ansatz ist allerdings nur für eine geringen Anzahl an Linien sinnvoll. Die Darstellung des vollständigen Datensatzes würde mit dieser Methode in starker visueller Überladung resultieren.
Eine mögliche Lösung für beide Probleme, die Darstellung nicht nur lokaler Eigenschaften und die Vermeidung visueller Überladung, ist die Extraktion und Darstellung struktureller Informationen in den Daten. Daher wurde von uns eine Methode zur Visualisierung kohärenter Strukturen in Tensorfeldern zweiter Ordnung entwickelt.
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